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试求曲线 $f(x)=xe^\frac{1}{x^2}$ 的渐近线.
解答: 由 $$\bex \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty \eex$$ 知曲线没有水平渐近线. 又由 (这里我们利用了 L'Hospital 法则) $$\bex \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{t\to +\infty} \frac{e^{t^2}}{t} =\lim_{t\to +\infty} 2t e^{t^2} =+\infty, \eex$$ $$\bex \lim_{x\to 0^-}f(x)=-\infty \eex$$ 知曲线有垂直渐近线 $x=0$. 最后, 由 $$\bex \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}e^\frac{1}{x^2}=1, \eex$$ $$\bex \lim_{x\to \infty}[f(x)-x] =\lim_{x\to \infty}x[e^\frac{1}{x^2}-1] =\lim_{t\to 0}\frac{e^{t^2}-1}{t} =\lim_{t\to 0} 2te^{t^2} =0 \eex$$ 知曲线有斜渐近线 $y=x$. 综上, 原曲线仅有两条渐近线 $y=0$, $y=x$.
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